Suites numériques - Mathématiques - 1ère STMG

Suites numériques - Mathématiques - 1ère STMG

Notre professeur a rédigé pour vous ce cours de mathématiques gratuit sur les suites numériques, chapitre au programme de 1ère STMG.

Vous verrez tout d'abord la définition d'une suite numérique, puis vous vous intéresserez aux types de génération d'une suite. Vous aborderez alors la représentation graphique d'une suite, et l'utilisation d'un tableur pour les suites numériques. La partie suivante porte sur le sens de variation d'une suite(croissante, décroissante ou constante), et vous étudierez les suites arithmétiques et géometriques.

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Suites numériques - Mathématiques - 1ère STMG

Le contenu du document


GENERALITES

Définition 1 : Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres telle qu’à tout entier naturel n on lui associe un nombre réel noté un.

un est le terme de rang n (on dit également d’indice n) de cette suite.

La suite sera noté u ou un

Exemples :

  • On considère la liste de nombres 0, 2, 4, 6, 8, …

On a ainsi définit la liste un des nombres pairs où u0 = 0, u1 = 2, u2 = 4, …

  • On considère la liste des nombre 1, 2, 4, 8, 16, …

On obtient chaque élément de la liste en multipliant le précédent par 2. Il s’agit donc de la suite un pour laquelle u0 = 1, u1 = 2, u2 = 4, …

Remarque : Il arrive parfois que le premier terme de la suite ne soit pas celui de rang 0 mais celui de rang 1.


TYPES DE GENERATION D’UNE SUITE

On peut construire des suites de deux façons :

  • Suite définie de manière explicite

On exprime le terme de rang n de la suite sans avoir besoin de calculer les termes précédents.

Exemples :

On considère la suite un des nombres pairs.

Pour tout entier naturel n, on a un = 2n.

On peut calculer u23 = 2 × 23 = 46 sans calculer les termes u0, u1, …, u22.


On considère la suite un des carrés des entiers naturels.

Pour tout entier naturel n, on a un = n².

Ainsi, par exemple, u12 = 144


Ce type de définition permet de déterminer facilement n’importe quel terme de la suite. 


  • Suite définie par récurrence

On détermine de proche en proche les termes de la suite.

Si un est le terme de rang n de la suite alors le terme qui le précède est un – 1 et le suivant est un + 1.

On a donc la liste u0, u1, u2, …, un – 1, un, un + 1, …


Exemples de suites définies par récurrence :

On considère la suite définie par u0 = 1 et un + 1 = 2un + 3.

On obtient ainsi :

Si n = 0, u1 = 2u0 + 3 = 2 × 1 + 3 = 5

Si n = 1, u2 = 2u1 + 3 = 2 × 5 + 3 = 13

Si n = 2, u3 = 2u2 + 3 = 2 × 13 + 3 = 29

 …


On considère la suite définie par u0 = 0 et un + 1 = un + n

On obtient ainsi :

Si n = 0, u1 = u0 + 0 = 0 + 0 = 0

Si n = 1, u2 = u1 + 1 = 0 + 1 = 1

Si n = 2, u3 = u2 + 2 = 1 + 2 = 3


REPRESENTATION GRAPHIQUE

Quand on veut représenter une suite graphiquement, on place dans un repère les points de coordonnées (n ; un).

Exemple : On considère la suite un définie par un = -5 + 2n.

On a ainsi :

u0 = -5, u1 = -3, u2 = -1, u3 = 1, u4 = 3, u5 = 5, …


On place donc dans un repère les points de coordonnées :

(0 ; -5), (1 ; -3), (2 ; -1), (3 ; 1), (4 ; 3), (5 ; 5)

Représentation graphique d'une suite numérique - Cours de maths stmg

AVEC UN TABLEUR

Les tableurs sont très utiles pour calculer les termes d’une suite quel que soit le mode de génération de la suite.

Formule explicite

On considère la suite un définie par un = n² + 2n

Représentation graphique d'une suite avec un tableur - Cours maths stmg

Pour pouvoir calculer tous les termes de la suite, on saisit dans la cellule B2 la formule : « =A2^2+2*A2 »  

(le symbole ^ permet d’écrire une puissance).


Suite définie par récurrence

On considère la suite un définie par u0 = 1 et  un + 1 = 3un – n.

IMAGE

Pour pouvoir calculer tous les termes de la suite, on saisit dans la cellule B3 la formule :

« =3*B2-A2 »

En effet, le n de la formule fait référence à l’indice du terme un.


SENS DE VARIATIONS

Définition 2 :

  • Une suite un est dite croissante si pour tout entier naturel n on a un + 1 ≥ un .
  • Une suite un est dite décroissante si pour tout entier naturel n on a un + 1 ≤ un .
  • Une suite un est dite constante si pour tout entier naturel n on a un + 1 = un .


Remarque : Une suite n’est pas nécéssairement croissante, décroissante ou constante. Il existe des suites qui changent de sens de variations.

Exemples :

  • La représentation graphique des termes d’une suite permet de conjecturer le sens de variation d’une suite (sans pour autant le prouver).


Représentation graphique des termes d'une suite - Cours maths stmg

Dans l’exemple ci-dessus, on peut conjecturer que la suite semble être croissante.

On considère la suite un définie par un = -5 + 2n.

un + 1 – un = -5 + 2(n + 1) – (-5 + 2n) = -5 + 2n + 2 + 5 – 2n = 2 > 0

Par conséquent un + 1 > un et la suite un est donc croissante.


SUITES ARITHMETIQUES

Définition 3 : Une suite un est dite arithmétique si on passe d’un terme au suivant en ajoutant à chaque fois un même nombre r appelé la raison de la suite.

Suites arithmétiques - Cours maths stmg

Remarque : Le nombre r peut être positif ou négatif.

Exemples :

  • 7, 10, 13, 16, 19 … sont les premiers termes d’une suite arithmétique dont le premier terme est u0 = 7 et la raison est r = 3.
  • 6, 4, 2, 0, -2, -4, … sont les premiers termes d’une suite arithmétique dont le premier terme est u0 = 6 et la raison est r = -2.


Définition 4 : On peut ainsi donner une définition par récurrence des suites arithmétiques :

u0 est un réel et un + 1 = un + r

Remarque : La définition explicite d’une suite arithmétique sera donnée en terminale.

Exemples :

  • La suite un définie par un + 1 = un + 3 et u0 = 7 est une suite arithmétique de premier terme u0 = 7 et de raison r = 3.
  • La suite un définie par un + 1 = un – 2 et u0 = 6 est une suite arithmétique de premier terme u0 = 6 et de raison r = -2


Propriété 1 : Une suite arithmétique un de raison r est :

  • Croissante si r > 0
  • Décroissante si r < 0
  • Constante si r = 0


Exemple : La suite arithmétique un définie par un + 1 = un + 2 et u0 = 1 est croissante car sa raison est r = 2 > 0.

Propriété 1 : Une suite arithmétique est représentée graphiquement par des points alignés.

Remarque : La réciproque est vraie. Si les points représentant graphiquement une suite sont alignés alors la suite est arithmétique.

Exemple : 

On considère la suite arithmétique un de premier terme u0 = -1 et de raison r = 0,5.

Sa représentation graphique est alors :

Représentation graphique d'une suite arithmétique - Cours de maths stmg


SUITES GEOMETRIQUE

Définition 5 : Une suite un est dite géométrique si on passe d’un terme au suivant en multipliant à chaque fois par un même nombre q appelé la raison de la suite.

Raison d'une suite géométrique - Cours de maths stmg

Remarque : On n’étudiera en 1STMG que des suites géométriques dont les termes sont strictement positifs.

Exemples :

2, 8, 32, 128, … sont les premiers termes d’une suite géométrique dont le premier terme est u0 = 2 et la raison est q = 4.

1, 5, 25, 125, 625, … sont les premiers termes d’une suite géométrique dont le premier terme est u0 = 1 et la raison est q = 5.


Définition 2 : On peut ainsi donner une définition par récurrence des suites géométriques :

u0 est un réel et un + 1 = q × un

Exemples :

Remarque : La forme explicite d’une suite géométrique sera donnée en terminale.

Propriété 2 : Une suite géométrique un de raison q est :

  • Croissante si q > 1
  • Décroissante si 0 < q < 1
  • Constante si q = 1


Exemple : La suite géométrique un définie par un + 1 = 0,75 un et u0 = 1 est décroissante car sa raison est q = 0,75 et 0 < 0,75 < 1.

Voici la représentation graphique des premiers termes de deux suites géométriques, la première est croissante car q > 1 et la seconde est décroissante car 0 < q < 0,7.

Représentation graphique d'une suite géométrique - Cours de Maths STMG

Fin de l'extrait

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