Second degré - Maths - 1ère STMG

FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

Définition 1 : On dit qu’une fonction f définie sur ℝ est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois nombres réels a (différent de 0), b et c tels que, pour tout nombre réel x on ait :

f(x) = ax² + bx + c

Remarque : L’expression f(x) = ax² + bx + c est appelée la forme développée de f.

On parle parfois de trinôme du second degré.

Exemples : 

• La fonction f définie par f(x) = -3x² + 5x + 1 est une fonction polynôme du second degré où a = -3, b = 5 et c = 1.
• La fonction f définie par f(x) = 5x² est une fonction polynôme du second degré où a = 5, b = 0 et c = 0.
• La fonction f définie par f(x) = 2x + 4 n’est pas une fonction polynôme du second degré car il n’y a pas de termes en x² (il s’agit d’une fonction polynôme du premier degré ou fonction affine).
• La fonction f définie par f(x) = 2x³ + x² - 4x + 2 n’est pas une fonction polynôme du second degré car il y a un terme de degré 3. Il s’agit en fait d’une fonction polynôme de degré 3.

Propriété 1 : Une fonction polynôme du second degré de la forme ax² + bx + c est représentée par une parabole dont le sommet S a pour abscisse -2/2a

Elle possède de plus un axe de symétrie d'équation x = -b/2a

Exemple : On considère la fonction polynôme du second degré f définie par :

f(x) = 2x² + 5x – 3.

On a alors a = 2, b = 5 et c = -3.

Le sommet de la parabole a donc pour abscisse : 

Remarque :

Si a > 0, on dit que la parabole est « tournée vers le haut ».

Si a < 0, on dit que la parabole est « tournée vers le bas ».

Propriété 2 : Toute fonction polynôme du second degré f possède une expression algébrique de la forme :

f(x) = a(x – α)² + β où α et β sont deux nombres réels.

Cette forme est appelée la forme canonique de f.

(α ; β) sont les coordonnées du sommet de la parabole.

Exemple : f(x) = 2(x – 1)² + 3. Il s’agit de la forme canonique de la fonction du second degré f définie par

f(x) = 2x² – 4x + 5.

En effet f(x) = 2x² – 2x + 1 + 3 = 2x² – 4x + 2 + 3 = 2x² – 4x + 5.

Le sommet a donc pour coordonnées (1 ; 3).

Puisque a > 0, cela signifie que la parabole est « tournée vers le haut » et que, par conséquent, 3 est un minimum pour f.

Remarque : Dans la pratique, il n’est pas demandé aux élèves de 1STMG de trouver la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré. Celle-ci est soit fournie soit obtenue à l’aide d’un logiciel.

EQUATIONS DU SECOND DEGRE

Définition 2 : On appelle équation du second degré toute équation, dont l’inconnue est x, pouvant s’écrire sous la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des réels avec a ≠ 0.

Exemple : 2x² + 5x – 3 = 0 est une équation du second degré.

Définition 3 : On appelle discriminant du trinôme ax² + bx + c, le nombre :

Δ = b² – 4ac

Exemple : le discriminant de 2x² + 5x – 3 est Δ = 5² – 4 × 2 × (-3) = 25 + 24 = 49.

Remarque : Le but de cette partie est de trouver, quand ils existent, tous les réels x solutions de l’équation ax² + bx + c = 0. Ces nombres sont alors appelés les racines du polynôme.

Propriété 3 : On considère l’équation du second degré ax² + bx + c = 0

Exemples :

• On veut résoudre l’équation 3x² – 5x – 1 = 0.

On a donc a = 3, b = -5 et c = -1.

Par conséquent Δ = (-5)² – 4 × 3 × (-1) = 25 + 12 = 37 > 0

L’équation possède donc deux solutions : 

• On veut résoudre l’équation 3x² – 6x + 3 = 0

On a donc a = 3, b = -6 et c = 3

Par conséquent Δ = (-6)² – 4 × 3 × 3 = 36 – 36 = 0

L’équation possède donc une unique solution :

• On veut résoudre l’équation 5x² + x + 2 = 0

On a donc a = 5, b = 1 et c = 2

Par conséquent Δ = 12 – 4 × 5 × 2 = -19 < 0

L’équation ne possède donc pas de solution réelle.

Remarque : Les solutions de l’équation, quand elles existent, correspondent aux abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

Voici donc les différents cas qu’on peut rencontrer graphiquement.

a > 0

a < 0

SIGNE D’UN TRINOME DU SECOND DEGRE

Après s’être intéressé aux solutions de l’équation ax² + bx + c = 0, on va maintenant étudier le signe du trinôme ax² + bx + c. Celui-ci ne va finalement dépendre que de Δ et de a.

Propriété 4 : Soit f  la fonction polynôme du second degré définie par f(x) = ax² + bx + c.

Si Δ > 0 : 

Si Δ = 0 :

Si Δ < 0 :

Exemples :

On considère le trinôme 2x² + 5x – 3 .

a = 2, b = 5 et c = -3

Donc Δ = 5² – 4 × 2 × (-3) = 49 > 0

Il y a donc deux racines :

Puisque a > 0, on obtient le tableau de signes suivant :

• On considère le trinôme -3x² + 2x – 5.

a = -3, b = 2 et c = -5.

donc Δ = 2² – 4 × (-3) × (-5) = 4 – 60 = -56 < 0

Puisque a < 0, on obtient le tableau de signe suivant :

• On considère le trinôme 2x² + 20x + 50.

a = 2, b = 20 et c = 50

Donc Δ = 20² – 4 × 2 × 50 = 400 – 400 = 0.

Il y a donc une seule racine :

Puisque a > 0, on obtient le tableau de signes suivant :

On est donc en mesure de résoudre des inéquations de la forme ax² + bx + c ≥ 0.

Exemples :

• On veut résoudre l’inéquation 2x² + 5x – 3 ≥ 0.

D’après les exemples précédent on a le tableau de signes : 

Par conséquent la solution de l’inéquation 2x² + 5x – 3 ≥ 0 est :

On veut résoudre l’inéquation -3x² + 2x – 5 ≥ 0.

On a le tableau de signe suivant :

Puisque l’expression est toujours strictement négative, aucun nombre n’est solution de l’inéquation.