Nous vous proposons ce cours de mathématiques pour la 1ère STMG, rédigé par notre professeur, consacré au second degré.
Vous étudierez tout d'abord les fonctions polynomes du second degré, puis vous aborderez les équations du second degré. Enfin, la dernière partie de ce cours de mathématiques pour 1ère STMG porte sur le signe d'un trinôme du second degré.
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Définition 1 : On dit qu’une fonction f définie sur ℝ est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois nombres réels a (différent de 0), b et c tels que, pour tout nombre réel x on ait :
f(x) = ax² + bx + c
Remarque : L’expression f(x) = ax² + bx + c est appelée la forme développée de f.
On parle parfois de trinôme du second degré.
Exemples :
Propriété 1 : Une fonction polynôme du second degré de la forme ax² + bx + c est représentée par une parabole dont le sommet S a pour abscisse -2/2a
Elle possède de plus un axe de symétrie d'équation x = -b/2a
Exemple : On considère la fonction polynôme du second degré f définie par :
f(x) = 2x² + 5x – 3.
On a alors a = 2, b = 5 et c = -3.
Le sommet de la parabole a donc pour abscisse :
Remarque :
Si a > 0, on dit que la parabole est « tournée vers le haut ».
Si a < 0, on dit que la parabole est « tournée vers le bas ».
Propriété 2 : Toute fonction polynôme du second degré f possède une expression algébrique de la forme :
f(x) = a(x – α)² + β où α et β sont deux nombres réels.
Cette forme est appelée la forme canonique de f.
(α ; β) sont les coordonnées du sommet de la parabole.
Exemple : f(x) = 2(x – 1)² + 3. Il s’agit de la forme canonique de la fonction du second degré f définie par
f(x) = 2x² – 4x + 5.
En effet f(x) = 2x² – 2x + 1 + 3 = 2x² – 4x + 2 + 3 = 2x² – 4x + 5.
Le sommet a donc pour coordonnées (1 ; 3).
Puisque a > 0, cela signifie que la parabole est « tournée vers le haut » et que, par conséquent, 3 est un minimum pour f.
Remarque : Dans la pratique, il n’est pas demandé aux élèves de 1STMG de trouver la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré. Celle-ci est soit fournie soit obtenue à l’aide d’un logiciel.
Définition 2 : On appelle équation du second degré toute équation, dont l’inconnue est x, pouvant s’écrire sous la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des réels avec a ≠ 0.
Exemple : 2x² + 5x – 3 = 0 est une équation du second degré.
Définition 3 : On appelle discriminant du trinôme ax² + bx + c, le nombre :
Δ = b² – 4ac
Exemple : le discriminant de 2x² + 5x – 3 est Δ = 5² – 4 × 2 × (-3) = 25 + 24 = 49.
Remarque : Le but de cette partie est de trouver, quand ils existent, tous les réels x solutions de l’équation ax² + bx + c = 0. Ces nombres sont alors appelés les racines du polynôme.
Propriété 3 : On considère l’équation du second degré ax² + bx + c = 0
Exemples :
On a donc a = 3, b = -5 et c = -1.
Par conséquent Δ = (-5)² – 4 × 3 × (-1) = 25 + 12 = 37 > 0
L’équation possède donc deux solutions :
On a donc a = 3, b = -6 et c = 3
Par conséquent Δ = (-6)² – 4 × 3 × 3 = 36 – 36 = 0
L’équation possède donc une unique solution :
On a donc a = 5, b = 1 et c = 2
Par conséquent Δ = 12 – 4 × 5 × 2 = -19 < 0
L’équation ne possède donc pas de solution réelle.
Remarque : Les solutions de l’équation, quand elles existent, correspondent aux abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.
Voici donc les différents cas qu’on peut rencontrer graphiquement.
a > 0
a < 0
Après s’être intéressé aux solutions de l’équation ax² + bx + c = 0, on va maintenant étudier le signe du trinôme ax² + bx + c. Celui-ci ne va finalement dépendre que de Δ et de a.
Propriété 4 : Soit f la fonction polynôme du second degré définie par f(x) = ax² + bx + c.
Si Δ > 0 :
Si Δ = 0 :
Si Δ < 0 :
Exemples :
On considère le trinôme 2x² + 5x – 3 .
a = 2, b = 5 et c = -3
Donc Δ = 5² – 4 × 2 × (-3) = 49 > 0
Il y a donc deux racines :
Puisque a > 0, on obtient le tableau de signes suivant :
a = -3, b = 2 et c = -5.
donc Δ = 2² – 4 × (-3) × (-5) = 4 – 60 = -56 < 0
Puisque a < 0, on obtient le tableau de signe suivant :
a = 2, b = 20 et c = 50
Donc Δ = 20² – 4 × 2 × 50 = 400 – 400 = 0.
Il y a donc une seule racine :
Puisque a > 0, on obtient le tableau de signes suivant :
On est donc en mesure de résoudre des inéquations de la forme ax² + bx + c ≥ 0.
Exemples :
D’après les exemples précédent on a le tableau de signes :
Par conséquent la solution de l’inéquation 2x² + 5x – 3 ≥ 0 est :
On veut résoudre l’inéquation -3x² + 2x – 5 ≥ 0.
On a le tableau de signe suivant :
Puisque l’expression est toujours strictement négative, aucun nombre n’est solution de l’inéquation.
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