Second degré - Maths - 1ère STMG

Second degré - Maths - 1ère STMG

Nous vous proposons ce cours de mathématiques pour la 1ère STMG, rédigé par notre professeur, consacré au second degré.

Vous étudierez tout d'abord les fonctions polynomes du second degré, puis vous aborderez les équations du second degré. Enfin, la dernière partie de ce cours de mathématiques pour 1ère STMG porte sur le signe d'un trinôme du second degré.

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Second degré - Maths - 1ère STMG

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FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

Définition 1 : On dit qu’une fonction f définie sur ℝ est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois nombres réels a (différent de 0), b et c tels que, pour tout nombre réel x on ait :

f(x) = ax² + bx + c

Remarque : L’expression f(x) = ax² + bx + c est appelée la forme développée de f.

On parle parfois de trinôme du second degré.

Exemples : 

  • La fonction f définie par f(x) = -3x² + 5x + 1 est une fonction polynôme du second degré où a = -3, b = 5 et c = 1.
  • La fonction f définie par f(x) = 5x² est une fonction polynôme du second degré où a = 5, b = 0 et c = 0.
  • La fonction f définie par f(x) = 2x + 4 n’est pas une fonction polynôme du second degré car il n’y a pas de termes en x² (il s’agit d’une fonction polynôme du premier degré ou fonction affine).
  • La fonction f définie par f(x) = 2x3 + x2 - 4x + 2 n’est pas une fonction polynôme du second degré car il y a un terme de degré 3. Il s’agit en fait d’une fonction polynôme de degré 3.


Propriété 1 : Une fonction polynôme du second degré de la forme ax² + bx + c est représentée par une parabole dont le sommet S a pour abscisse -2/2a

Elle possède de plus un axe de symétrie d'équation x = -b/2a


Exemple : On considère la fonction polynôme du second degré f définie par :

f(x) = 2x² + 5x – 3.

On a alors a = 2, b = 5 et c = -3.

Le sommet de la parabole a donc pour abscisse : 

Second degré - Cours de maths gratuit - STMG

Courbe représentative second degré - Cours maths stmg


Remarque :

Si a > 0, on dit que la parabole est « tournée vers le haut ».

Parabole tournée vers le haut - Cours maths second degré

Si a < 0, on dit que la parabole est « tournée vers le bas ».

Parabole tournée vers le bas - Cours maths second degré

Propriété 2 : Toute fonction polynôme du second degré f possède une expression algébrique de la forme :

f(x) = a(x – α)² + β où α et β sont deux nombres réels.

Cette forme est appelée la forme canonique de f.

(α ; β) sont les coordonnées du sommet de la parabole.


Exemple : f(x) = 2(x – 1)² + 3. Il s’agit de la forme canonique de la fonction du second degré f définie par

f(x) = 2x² – 4x + 5.

En effet f(x) = 2x² – 2x + 1 + 3 = 2x² – 4x + 2 + 3 = 2x² – 4x + 5.

Le sommet a donc pour coordonnées (1 ; 3).

Puisque a > 0, cela signifie que la parabole est « tournée vers le haut » et que, par conséquent, 3 est un minimum pour f.


Remarque : Dans la pratique, il n’est pas demandé aux élèves de 1STMG de trouver la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré. Celle-ci est soit fournie soit obtenue à l’aide d’un logiciel.


EQUATIONS DU SECOND DEGRE

Définition 2 : On appelle équation du second degré toute équation, dont l’inconnue est x, pouvant s’écrire sous la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des réels avec a ≠ 0.

Exemple : 2x² + 5x – 3 = 0 est une équation du second degré.


Définition 3 : On appelle discriminant du trinôme ax² + bx + c, le nombre :

Δ = b² – 4ac


Exemple : le discriminant de 2x² + 5x – 3 est Δ = 5² – 4 × 2 × (-3) = 25 + 24 = 49.


Remarque : Le but de cette partie est de trouver, quand ils existent, tous les réels x solutions de l’équation ax² + bx + c = 0. Ces nombres sont alors appelés les racines du polynôme.


Propriété 3 : On considère l’équation du second degré ax² + bx + c = 0

Exemples :

  • On veut résoudre l’équation 3x² – 5x – 1 = 0.

On a donc a = 3, b = -5 et c = -1.

Par conséquent Δ = (-5)² – 4 × 3 × (-1) = 25 + 12 = 37 > 0

L’équation possède donc deux solutions : 


  • On veut résoudre l’équation 3x² – 6x + 3 = 0

On a donc a = 3, b = -6 et c = 3

Par conséquent Δ = (-6)² – 4 × 3 × 3 = 36 – 36 = 0

L’équation possède donc une unique solution :


  • On veut résoudre l’équation 5x² + x + 2 = 0

On a donc a = 5, b = 1 et c = 2

Par conséquent Δ = 12 – 4 × 5 × 2 = -19 < 0

L’équation ne possède donc pas de solution réelle.


Remarque : Les solutions de l’équation, quand elles existent, correspondent aux abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

Voici donc les différents cas qu’on peut rencontrer graphiquement.

a > 0

a < 0


SIGNE D’UN TRINOME DU SECOND DEGRE

Après s’être intéressé aux solutions de l’équation ax² + bx + c = 0, on va maintenant étudier le signe du trinôme ax² + bx + c. Celui-ci ne va finalement dépendre que de Δ et de a.


Propriété 4 : Soit f  la fonction polynôme du second degré définie par f(x) = ax² + bx + c.

Si Δ > 0 : 

Tableau de variation fonction polynôme - Cours maths stmg

Si Δ = 0 :

Tableau de variation fonction polynôme du second degré - Cours maths stmg

Si Δ < 0 :

Tableau de variation fonction polynôme du second degré - Cours maths stmg

Exemples :

On considère le trinôme 2x² + 5x – 3 .

a = 2, b = 5 et c = -3

Donc Δ = 5² – 4 × 2 × (-3) = 49 > 0

Il y a donc deux racines :

Puisque a > 0, on obtient le tableau de signes suivant :


  • On considère le trinôme -3x² + 2x – 5.

a = -3, b = 2 et c = -5.

donc Δ = 2² – 4 × (-3) × (-5) = 4 – 60 = -56 < 0

Puisque a < 0, on obtient le tableau de signe suivant :


  • On considère le trinôme 2x² + 20x + 50.

a = 2, b = 20 et c = 50

Donc Δ = 20² – 4 × 2 × 50 = 400 – 400 = 0.

Il y a donc une seule racine :

Puisque a > 0, on obtient le tableau de signes suivant :

On est donc en mesure de résoudre des inéquations de la forme ax² + bx + c ≥ 0.

Exemples :

  • On veut résoudre l’inéquation 2x² + 5x – 3 ≥ 0.

D’après les exemples précédent on a le tableau de signes : 

Tableau de signe - Cours second degré - Maths STMG

Par conséquent la solution de l’inéquation 2x² + 5x – 3 ≥ 0 est :

On veut résoudre l’inéquation -3x² + 2x – 5 ≥ 0.

On a le tableau de signe suivant :

Puisque l’expression est toujours strictement négative, aucun nombre n’est solution de l’inéquation.

Fin de l'extrait

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