Evolution - Mathématiques - 1ère STMG

Evolution - Mathématiques - 1ère STMG

Découvrez ce cours de mathématiques niveau Première STMG, rédigé par notre professeur, sur le chapitre "Evolution".

Ce cours de mathématiques concerne entre autres les pourcentages. Vous étudierez donc l'évolution d'un prix par rapport à un pourcentage donné, avec les notions de coefficient multiplicateur, taux d'évolution, variable absolue et variable relative. Vous aborderez ensuite les évolutions succsessives, et enfin les évolutions réciproques.

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Evolution - Mathématiques - 1ère STMG

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EVOLUTION

Exemples :

  • Un article coûte initialement 42€. Il augmente de 5% et on souhaite connaître le nouveau prix.

L’article coûte, après l’augmentation, 44,1€.

1,05 est le coefficient multiplicateur permettant de passer de 42 à 44,1.

 

  • Un article coûte initialement 50€. Au moment des soldes son prix diminue de 60%.

Après la réduction l’article coûte donc 20€.

0,4 est le coefficient multiplicateur permettant de passer de 50 à 20.

 

Propriété 1 :

  • Si une quantité augmente de x% alors elle est multipliée par 1 + (x/100)
  • Si une quantité diminue de x% alors elle est multipliée par 1 - (x/100)
  • Les nombres 1 + (x/100) et 1 - (x/100) sont appelés les coefficients multiplicateurs.

 

Remarque : Cette propriété permet de déterminer, par exemple, un prix après une augmentation mais également de déterminer le prix initial (quand on connait le prix final et le pourcentage d’évolution) ou le pourcentage d’évolution (quand on connait le prix initial et le prix final).

 

Exemples :

  • Un site constate que le nombre d’internautes aimant sa page Facebook a augmenté en un mois de 4%. 156 personnes aiment cette page maintenant.

 

On cherche le nombre de personnes qui aimaient cette page le mois précédent.

On appelle N ce nombre.

On a donc 

soit N x 1,04 = 156

Par conséquent N = 156/1,04 = 150

150 internautes aimaient donc la page le mois précédent.

 

  • Le chiffre d’affaires d’une entreprise est passé en un an de 174 milliers d’euros à 156,6 milliers d’euros. On souhaite déterminer le taux d’évolution.

 

On appelle x le pourcentage cherché.

On a donc 

Par conséquent 1 - (x/100) = 156,6/174 soit 1 - (x/100) = 0,9

Donc -(x/100) = -0,1 et x = 10

Le chiffre d’affaire de l’entreprise a donc baissé de 10%

 

Pour calculer un taux d’évolution on peut aussi utiliser la propriété suivante :

 

Propriété 2 : Si une quantité passe de la valeur V0 à la valeur V1 alors son taux d’évolution est donné par :

Exemples :

  • En une année le nombre de lycéens d’un établissement scolaire est passé de 1300 à 1326.

Le taux d’évolution est donc 

x = (1326 - 1300)/1300 = 0,02 = 2%

Ainsi le nombre de lycéens a augmenté de 2%.

 

  • Le prix d’un article est passé de 35€ à 28€.

Le taux d’évolution est donc 

x = (28 - 35)/35 = -0,2 = -20%

Le prix de l’article a donc baissé de 20%.

 

Remarque :

  • Si le taux d’évolution est positif alors il y a une augmentation.
  • Si le taux d’évolution est négatif alors il y a une diminution.

 

Définition 1 : Une grandeur passe de la valeur V0 à la valeur V1 .

On appelle :

  • Variation absolue le nombre V1 – V0.
  • Variation relative le nombre (V1 – V0)/V(on a vu précédemment qu’on l’appelait également taux d’évolution).

 

Exemple : Le chiffre d’affaire d’une entreprise est passé en un an de 120,9 millions d’euros à 130,2 millions d’euros.

La variation absolue est donc de 130,2 – 120,9 = 9,3 millions d’euros.

La variation relative est donc de (130,2 - 120,9)/120,9 = 0,8

Le taux d’évolution est donc approximativement de 8%.

 

EVOLUTIONS SUCCESSIVES

Dans cette partie une grandeur subit deux évolutions successives et on cherche à déterminer le taux d’évolution global.

 

Propriété 3 : Une grandeur subit deux évolutions successives dont les taux d’évolution sont respectivement t1 et t2. On appelle k1 et k2 les coefficients multiplicateurs associés à ces évolutions. 

Le coefficient multiplicateur global est alors k = k1 × k2.

 

Exemples :

  • Un article coûte initialement 45€. Il subit une baisse de 10% puis quelques jours plus tard une nouvelle baisse de 20%.

 

Le coefficient multiplicateur lié à la baisse de 10% est 1 - (10/100) = 0,9

Le coefficient multiplicateur lié à la baisse de 10% est 1 - (20/100) = 0,8

Le coefficient multiplicateur global est donc k = 0,9 × 0,8 = 0,72.

Le prix a donc subi une baisse de 28% (1 – 0,72).

 

Regardons ce qui se passe au niveau du prix :

 

Remarques :

  • La deuxième baisse s’applique au nouveau prix (40,5€) et non à 45€.
  • Le taux d’évolution global n’est pas de 30% (10% + 20%)

 

Le cours d’une action en bourse subit une baisse de 10% et le jour suivant une augmentation de 10%. Quel est le taux d’évolution global ?

Le coefficient multiplicateur lié à la baisse de 10% est 1 - (10/100) = 0,9

Le coefficient multiplicateur lié à la hausse de 10% est 1 + (10/100) = 1,1

Le coefficient multiplicateur global est donc k = 0,9 × 1,1 = 0,99.

Le cours de l’action a donc, au global sur les deux jours, baissé de 1% (1 – 0,99).

 

Remarque : Il est donc faux de penser qu’une baisse puis une augmentation d’un même pourcentage permettent de revenir à la situation initiale.

 

EVOLUTION RECIPROQUE

Définition 2 : Si une grandeur passe de la valeur V0 à la valeur V1, on appelle taux d’évolution réciproque le taux d’évolution permettant de passer de la valeur V1 à la valeur V0.

Exemple : Le cours d’une action est passé de 40,5€ à 32,4€. 

De quel pourcentage doit-il augmenter pour retrouver son cours initial ?

On veut donc que le cours passe de 32,4€ à 40,5€

Le taux d’évolution est donc t = (40,5 - 32,4)/32,4 = 0,25

Il faut donc que le cours de l’action augmente de 25% pour retrouver son cours initial.

Le coefficient multiplicateur est donc k = 1,25

Quand le cours est passé de 40,5€ à 32,4€, le taux d’évolution était alors 

t' = (32,4 - 40,5)/40,5 = -0,2

Le coefficient multiplicateur est donc k’ = 0,8.

On remarque alors que k × k’ = 1,25 × 0,8 = 1.

Cette propriété est en fait vraie tout le temps :

 

Propriété 4 : Le taux d’évolution d’une grandeur pour passer de la valeur V0 à la valeur V1 est t. Son coefficient multiplicateur est donc 1 + t.

Le taux d’évolution réciproque t’ vérifie alors que (1 + t) × (1 + t’) = 1 soit 

1 + t' = 1/(1+t)

 

Exemples :

  • Le prix d’un article a augmenté de 60%.

Quel doit être le taux d’évolution pour que le prix retrouve sa valeur initiale ?

Le coefficient multiplicateur lié à l’augmentation de 60% est 1,6.

Si on appelle t le taux d’évolution réciproque, on a :

1 + t = 1/1,6 soit t = 1/1,6 - 1

Donc t = -0,375.

Il faudrait par conséquent que le prix diminue 37,5% pour retrouver sa valeur initiale.

 

Regardons ce qui se passe si le prix initial est de 120€ :

 

 

  • Une entreprise constate que sa production a baissé de 8,2%.

Quel doit être le taux d’évolution pour que la production de l’entreprise retrouve sa valeur initiale ?

Le coefficient multiplicateur lié à la baisse de 8,2% est 0,918.

On appelle t le taux d’évolution réciproque.

On a donc : 1 + t = 1/0,918 soit t = 1/0,918 - 1

Donc t ≈ 0,089.

Il faudrait donc que l’entreprise augmente sa production d’environ 8,9% pour quelle revienne à son niveau initial.

 

POUR ALLER PLUS LOIN

Le tableau ci-dessous, donne le revenu disponible brut (RDB) des ménages et l’évolution de leur pouvoir d’achat en France de 2011 à 2013.

Année 2011 2012 2013
RDB en milliards d'euros 1311,40 1318,10 1326,30

 

  • Calcul du taux d’évolution du RDB de 2011 à 2012 et de 2012 à 2013

Le taux d’évolution de 2011 à 2012 du RDB est

t1 = (1318,10 - 1311,40)/1311,40 = 0,0051

Le RDB a donc augmenté d’environ 0,51% de 2011 à 2012.

 

Le taux d’évolution de 2012 à 2013 du RDB est 

t2 = (1326,3 - 1318,10)/1318,10 = 0,0062

Le RDB a donc augmenté d’environ 0,62% de 2012 à 2013.

 

  • Calcul du taux d’évolution du RDB de 2011 à 2013

Le taux d’évolution de 2011 à 2013 du RDB est 

t3 = (1326,30 - 1311,40)/1311,40 = 0,0114

Le RDB a donc augmenté d’environ 1,14% de 2011 à 2013.

 

  • On souhaite calculer le taux d’évolution moyen de 2011 à 2013

On cherche donc la valeur de t telle que :

Par conséquent 

Donc

D’où t ≈ 0,57.

Le RDB a donc augmenté d’environ 0,57% chaque année de 2011 à 2013.

 

Remarque : On verra en terminale comment déterminer le taux d’évolution moyen quand il y a plus de 2 évolutions successives.

 

On suppose que cette évolution moyenne continue jusqu’en 2016.

Le RDB en 2016 sera donc égal à 1326,30 × 1,00573 ≈ 1349,11.

Fin de l'extrait

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