Echantillonnage et prise de décision - Mathématiques - 1ère STMG

Echantillonnage et prise de décision - Mathématiques - 1ère STMG

digiSchool Bac STMG vous propose un cours de mathématiques gratuit pour la Première STMG, rédigé par notre professeur, consacré au chapitre "Echantillonnage et prise de décision".

Vous verrez tout d'abord les notions d'échantillonnage et intervalle de fluctuation, puis vous vous intéresserez aux outils informatiques (calculer des probabilités avec un tableur et avec la calculatrice). Vous étudierez alors la prise de décision en mathématiques.

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Echantillonnage et prise de décision - Mathématiques - 1ère STMG

Le contenu du document

 

On a vu que la probabilité d’un événement est la valeur limite de la fréquence qui lui est associée quand on répète un très grand nombre de fois l’expérience. Dans la pratique, on ne peut pas réaliser une infinité de fois l’expérience.

Prenons l’exemple d’un lancer de dé équilibré. On considère l’événement A « Obtenir le nombre 6 ». On sait que la probabilité de A est 

Cours échantillonnage et prise de décision - Maths STMG

Observons maintenant avec un tableur ce qui se passe quand on réalise 10, 100, 1 000 lancers.

On obtient un 6 sur 10 lancers, 15 sur 100 lancers et 153 sur 1 000 lancers.

Les fréquences associées sont donc 0,1 ; 0,15 et 0,153.

On constate donc un écart entre la valeur théorique et les fréquences observées.

On va donc essayer de déterminer un intervalle, en fonction du nombre d’expériences faites, pour lequel les fréquences obtenues sont acceptables. Cela nous amènera alors à dire que le dé n’est pas pipé. En dehors de cet intervalle, les fréquences seront trop éloignées de la valeur théorique et on pourra, par exemple, conclure que le dé est truqué.

 

ECHANTILLONNAGE ET INTERVALLE DE FLUCTUATION

Puisqu’il est, en général, impossible de réaliser un nombre infini de lancers, d’interroger tous les habitants, de vérifier tous les objets fabriqués par une chaîne de montage, … on va sélectionner au hasard un certains nombres de lancers, d’habitants, d’objets. 

Définition 1 : Lorsque dans une population, on prélève au hasard, successivement et avec remise n éléments on dit alors qu’on a pris un échantillon de taille n.

 

Remarque : Dans la pratique, on assimilera les tirages effectués dans une population comportant un grand nombre d’individus comme réalisés avec remise.

Dans ce chapitre on veut déterminer un intervalle dans lequel, au moins 95% des fréquences observées sur les échantillons doivent appartenir.

On appellera ce type d’intervalle, un intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

 

Exemple : Dans une ville on estime que 20% des habitants utilisent les transports en commun.  La probabilité théorique associée est donc p = 0,2.

On interroge 50 personnes au hasard dans la rue et on leur demande s’ils utilisent les transports en commun.

La variable aléatoire X comptant le nombre de personnes empruntant les transports en commun suit donc la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,2.

On obtient alors le tableau des probabilités P(X = k) suivant :

Tableau de probabilités - Cours échantillonnage et prise de décision - Maths STMG

Ce qui se traduit par le diagramme en barre suivant :

 

Définition 2 : On considère un échantillon de taille n et une variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètres n et p comptant sur cet échantillon un caractère donné.

L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence observée est l’intervalle 

où a est le plus petit entier tel que P(X ≤ a) > 0,025

et b est le plus petit entier tel que P(X ≤ b) ≥ 0,975

On va donc chercher dans notre exemple la plus petite valeur de a telle que P(X ≤ a) > 0,025 et la plus petite valeur de b telle que P(X ≤ b) ≥ 0,975.

Reprenons le tableau précédent en ajoutant la colonne P(X ≤ k).

Tableau de probabilité - Cours de maths échantillonnage et prise de décision Première STMG

On lit donc que :

  • la plus petite valeur de a telle que P(X ≤ a) > 0,025 est 5
  • la plus petite valeur de b telle que P(X ≤ b) ≥ 0,975 est 16

 

L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est donc :

intervalle de fluctuation - Cours de maths échantillonnage et prise de décision Première STMG

=[0,10 ; 0,32]

Il sera donc considéré comme normal, si l’estimation faite est correcte, de rencontrer des échantillons de 50 personnes parmi lesquels de 10% à 32% des individus empruntent les transports en commun.

Diagramme de probabilités - Cours de maths échantillonnage et prise de décision Première STMG

Remarque : Si les bornes de l’intervalle doivent être arrondies, on arrondira par défaut la borne inférieure et par excès la borne supérieure.

Par exemple, un arrondi au centième de [0,1257 ; 0,3413] sera [0,12 ; 0,35].

 

OUTILS INFORMATIQUES

  • Avec un tableur

Pour pouvoir calculer P(X = k) lorsque X suit une loi binomiale de paramètres n et p on saisit : « =LOI.BINOMIALE(k ;n;p;FAUX) ».

Si on veut calculer P(X ≤ k), on saisit « =LOI.BINOMIALE(k ;n;p;VRAI) »

 

Exemple : lorsque n = 50 et p = 0,2

 

  • Sur Casio 

Dans le menu TABLE.

On saisit OPTN/STAT/DIST/BIN/BCD(X,n,p)

Dans le menu SET on indique les valeurs :

  début : 0

  fin : n

  pas : 1

On affiche ensuite la table de valeurs.

 

  • TI 

Dans déf table (2ND + fenêtre) on indique :

  début : 0

  pas : 1

Dans f(x), on saisit « binomFRép(n,p,X) »

On affiche ensuite la table de valeurs.

Il nous suffit alors de lire les valeurs de a et b de la définition dans la 2ème colonne.

 

  • Algobox

Voici un algorithme sous Algobox qui fournit les nombres a et b de la définition d’un intervalle de fluctuation.

Algorithme algobox - Cours Echantillonnage et prise de décision maths première stmg

 

PRISE DE DECISION

Propriété 1 : Si la fréquence observée f appartient à l’intervalle de fluctuation alors l’hypothèse faite sur p est acceptée au seuil de 95% sinon elle est rejetée au risque de 5%. 

 

Dans notre exemple, on suppose que 14 personnes interrogées ont répondu emprunter les transports en commun.

La fréquence observée est donc f = 14/50 = 0,28.

L’intervalle de fluctuation était I50 = [0,1 ; 0,32].

Par conséquent f ∈ I50.

L’hypothèse faite sur la proportion d’habitants utilisant les transports en commun est donc acceptée.

Remarque : Pour autant, on ne peut pas dire avec certitude que l’estimation faite est bonne puisqu’il y a un risque de 5% de se tromper.

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