Correction Mathématiques Bac STMG 2017 Polynésie

Ce sujet reprend les thèmes habituellement abordés dans les autres sujets de bac : ajustement linéaire, intervalle de fluctuation, probabilités, suites, pourcentages, dérivation et algorithme.

Il est d’une difficulté normale.

 

Exercice 1

1. A l’aide de la calculatrice on obtient l’équation y = −0,279x + 55,594

2. 

a. y=−0,28x+55,6

Si x = 0 alors y = 55,6 

Si x = 20 alors y = 50.

 

 

b. Le 6 mai on a x = 13 donc y = −0,28 × 13 + 55,6 = 51,96.

Selon ce modèle, le 6 mai, le candidat A remporte 51, 96% des voix.

 

c. Le candidat B est élu si les intentions de votes pour le candidat A sont inférieures à 50%.

On résout donc : −0,28x + 55, 6 < 50 ⇔ −0, 28x < −5,6 

x > −5,6/−0,28

x > 20

 

C’est à partir du 13 mai que le candidat B serait passé en tête des sondages d’après ce modèle.

On a n = 1225 > 25 et p = 0,52 donc 0,2 < p < 0,8.

 

Un intervalle de fluctuation au niveau de confiance de 95% est :

 

 

b. 0,491 < 0,5 donc la victoire de ce candidat n’était pas assurée.

 

Exercice 2 

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant:

2. D’après l’arbre précédent on a : p(T∩V) = 0,6 × 0,72 = 0,432

3. On veut calculer  = 0,4 × 0,04 = 0,016

4. D’après la formule des probabilités totales on a :

5. On veut calculer :

 

 

Partie B

1. On a U0 = 81,6 donc U1 = (1-5/100)× 81,6 = 0,95 × 81,6 = 77,52

U2 = 0,95 × U1 = 73,644

 

2. Pour tout entier naturel n on a Un+1 = 0,95Un

La suite (Un) est donc géométrique de raison 0, 95. Ainsi, pour tout entier naturel n on a Un = 81,6 × 0,95n.

 

3. En 2020, on a n = 4 donc U4 = 81,6 × 0,954 ≈ 66,46

En 2020, 66, 46% des employés devraient venir en voiture.

On cherche la plus petite valeur de l’entier naturel n tel que :

Un < 50 ⇔ 81,6 × 0,95 n < 50

D’après la calculatrice, on a :

U9 ≈ 51, 4 et U10 ≈ 48, 9

C’est donc à partir de l’année 2026 que moins d’un employé sur deux viendra travailler en voiture.

 

Exercice 3

Partie A

1. Taux d’évolution du salaire net moyen des hommes entre 1990 et 2000 :

t1 = 21 498 − 17 643 / 17 643 ≈ 21,85%

t2 = 17 259 − 13 258 / 13 258 ≈ 30,18%

 

2. On a t2 > t1 donc les femmes ont la plus forte progression du salaire net moyen entre 1990 et 2000.

Taux d’évolution du salaire net moyen des hommes entre 2000 et 2010 :

t3 = 26 831 − 21 498 / 21 498 ≈ 24,81%

 

Taux d’évolution du salaire net moyen des femmes entre 2000 et 2010 :

t4 = 22 112 − 17 259 / 17 259 ≈ 28,12%

 

On constate que t4 > t3. La tendance s’est donc confirmée durant les dix années suivantes mais l’écart entre les deux taux d’évolution s’est atténué.

 

3. On appelle t le taux annuel moyen d’évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000. On a donc :

 

 

Ainsi le taux annuel moyen d’évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000 est d’environ 1,996% ce qui est nettement inférieur à celui des femmes.

 

Partie B

1. 

h (15) = 0,25 × 15³ + 2 × 15² + 318 × 15 +17865 =23928,75 

f (15)= 0,6 × 15³ − 13 × 15² + 470 × 15 + 13 324 = 19 474

 

Cela signifie donc qu’en 2005, le salaire net annuel des hommes était d’environ 23 929 euros et celui des femmes de 19 474 euros.

 

2. h (30) = 35955 et f(30) = 31924 

L’écart est donc de 35955 − 31924 = 4031 euros.

 

3. L’écart entre ces deux salaires est modélisé par la fonction g définie sur l’intervalle [0;30] (pour aller de 1990 à 2020) par :

g (x) = h(x) − f (x)

= 0,25x³ + 2x² + 318x + 17 864 − (0,6x³ − 13x² +470 x + 13 324)  

= −0,35x³ + 15x² − 152x + 4 541

 

4. g′(x) = −0,35 × 3x² + 15 × 2x − 152 

= − 0,95x² + 30x −152

 

5. g′(x) est un polynôme du second degré avec a = −0,95, b = 30 et c = −152.

 

∆ = b2 − 4ac

= 302 − 4 × (−0, 95) × (−152)

= 900 − 577,6 = 322,4

>0

 

Il y a donc deux solutions réelles :

 

 

Puisque a < 0 on obtient le tableau de signes suivant :

 

 

D’après le tableau de signes précédents on constate que l’écart entre les salaires annuels moyens des hommes et des femmes a augmenté sur l’intervalle [x2;x1] soit environ entre 1997 et 2015. On ne peut donc pas affirmer que cet écart n’a fait que diminuer depuis 1990.

 

Partie C

1. 

X prend la valeur 0

H prend la valeur 17865 F prend la valeur 13324 Tant que F < H

X prend la valeur X + 1

H prend la valeur 0,25X3 +2X2 +318X +17865 

F prend la valeur 0,6X3 −13X2 +470X +13324

Fin tant que

A prend la valeur 1990 + X Afficher A

 

2. D’après le tableau, cet algorithme affichera 2031.