Retrouvez la correction de Mathématiques du Bac STMG 2017 de Polynésie !
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Pour rappel, cette épreuve de Mathématiques était composée de plusieurs exercices sur : les probabiltés et statistiques, les suites et fonctions, l'algorithmique, l'information chiffrée et d'autres chapitres.
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Ce sujet reprend les thèmes habituellement abordés dans les autres sujets de bac : ajustement linéaire, intervalle de fluctuation, probabilités, suites, pourcentages, dérivation et algorithme.
Il est d’une difficulté normale.
Â
1. A l’aide de la calculatrice on obtient l’équation y = −0,279x + 55,594
2.Â
a. y=−0,28x+55,6
Si x = 0 alors y = 55,6Â
Si x = 20 alors y = 50.
Â
Â
b. Le 6 mai on a x = 13 donc y = −0,28 × 13 + 55,6 = 51,96.
Selon ce modèle, le 6 mai, le candidat A remporte 51, 96% des voix.
Â
c. Le candidat B est élu si les intentions de votes pour le candidat A sont inférieures à 50%.
On résout donc : −0,28x + 55, 6 < 50 ⇔ −0, 28x < −5,6Â
x > −5,6/−0,28
x > 20
Â
C’est à partir du 13 mai que le candidat B serait passé en tête des sondages d’après ce modèle.
On a n = 1225 > 25 et p = 0,52 donc 0,2 < p < 0,8.
Â
Un intervalle de fluctuation au niveau de confiance de 95% est :
Â
Â
b. 0,491 < 0,5 donc la victoire de ce candidat n’était pas assurée.
Â
Partie A
1. On obtient l’arbre pondéré suivant:
2. D’après l’arbre précédent on a : p(T∩V) = 0,6 × 0,72 = 0,432
3. On veut calculer  = 0,4 × 0,04 = 0,016
4. D’après la formule des probabilités totales on a :
5. On veut calculer :
Â
Â
Partie B
1. On a U0 = 81,6 donc U1 = (1-5/100)× 81,6 = 0,95 × 81,6 = 77,52
U2 = 0,95 × U1 = 73,644
Â
2. Pour tout entier naturel n on a Un+1 = 0,95Un
La suite (Un) est donc géométrique de raison 0, 95. Ainsi, pour tout entier naturel n on a Un = 81,6 × 0,95n.
Â
3. En 2020, on a n = 4 donc U4 = 81,6 × 0,954 ≈ 66,46
En 2020, 66, 46% des employés devraient venir en voiture.
On cherche la plus petite valeur de l’entier naturel n tel que :
Un < 50 ⇔ 81,6 × 0,95 n < 50
D’après la calculatrice, on a :
U9 ≈ 51, 4 et U10 ≈ 48, 9
C’est donc à partir de l’année 2026 que moins d’un employé sur deux viendra travailler en voiture.
Â
Partie A
1. Taux d’évolution du salaire net moyen des hommes entre 1990 et 2000 :
t1 = 21 498 − 17 643 / 17 643 ≈ 21,85%
t2 = 17 259 − 13 258 / 13 258 ≈ 30,18%
Â
2. On a t2 > t1 donc les femmes ont la plus forte progression du salaire net moyen entre 1990 et 2000.
Taux d’évolution du salaire net moyen des hommes entre 2000 et 2010 :
t3 = 26 831 − 21 498 / 21 498 ≈ 24,81%
Â
Taux d’évolution du salaire net moyen des femmes entre 2000 et 2010 :
t4 = 22 112 − 17 259 / 17 259 ≈ 28,12%
Â
On constate que t4 > t3. La tendance s’est donc confirmée durant les dix années suivantes mais l’écart entre les deux taux d’évolution s’est atténué.
Â
3. On appelle t le taux annuel moyen d’évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000. On a donc :
Â
Â
Ainsi le taux annuel moyen d’évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000 est d’environ 1,996% ce qui est nettement inférieur à celui des femmes.
Â
Partie B
1.Â
h (15) = 0,25 × 15³ + 2 × 15² + 318 × 15 +17865 =23928,75Â
f (15)= 0,6 × 15³ − 13 × 15² + 470 × 15 + 13 324 = 19 474
Â
Cela signifie donc qu’en 2005, le salaire net annuel des hommes était d’environ 23 929 euros et celui des femmes de 19 474 euros.
Â
2. h (30) = 35955 et f(30) = 31924Â
L’écart est donc de 35955 − 31924 = 4031 euros.
Â
3. L’écart entre ces deux salaires est modélisé par la fonction g définie sur l’intervalle [0;30] (pour aller de 1990 à 2020) par :
g (x) = h(x) − f (x)
= 0,25x³ + 2x² + 318x + 17 864 − (0,6x³ − 13x² +470 x + 13 324) Â
= −0,35x³ + 15x² − 152x + 4 541
Â
4. g′(x) = −0,35 × 3x² + 15 × 2x − 152Â
= − 0,95x² + 30x −152
Â
5. g′(x) est un polynôme du second degré avec a = −0,95, b = 30 et c = −152.
Â
∆ = b2 − 4ac
= 302 − 4 × (−0, 95) × (−152)
= 900 − 577,6 = 322,4
>0
Â
Il y a donc deux solutions réelles :
Â
Â
Puisque a < 0 on obtient le tableau de signes suivant :
Â
Â
D’après le tableau de signes précédents on constate que l’écart entre les salaires annuels moyens des hommes et des femmes a augmenté sur l’intervalle [x2;x1] soit environ entre 1997 et 2015. On ne peut donc pas affirmer que cet écart n’a fait que diminuer depuis 1990.
Â
Partie C
1.Â
X prend la valeur 0
H prend la valeur 17865 F prend la valeur 13324 Tant que F < H
X prend la valeur X + 1
H prend la valeur 0,25X3 +2X2 +318X +17865Â
F prend la valeur 0,6X3 −13X2 +470X +13324
Fin tant que
A prend la valeur 1990 + X Afficher A
Â
2. D’après le tableau, cet algorithme affichera 2031.
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