Correction écrite du Bac Blanc #2 Mathématiques - Bac STMG

Correction écrite du Bac Blanc #2 Mathématiques - Bac STMG

Retrouvez le corrigé écrit de l'épreuve du Bac Blanc #2 de Mathématiques série STMG.

Pour rappel, le sujet de cette opération Bac Blanc de Maths portait sur les probabilités, la dérivation, les suites et les évolutions.

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Correction écrite du Bac Blanc #2 Mathématiques - Bac STMG

Le contenu du document

 

Première lecture du sujet ~ 15 min

Au début de l’épreuve, cette lecture est importante et doit vous permettre de :

Repérez les notions clés pour la résolution des exercices

Identifiez les exercices les plus faciles pour vous

Fixez-vous des objectif temps à consacrer à chaque exercice 

 

tableau-presentation-epreuve-maths-stmg

 

Pendant l’épreuve

Commencez par les exercices les plus faciles

Soignez votre présentation (vous pouvez utiliser une copie par exercice)

Numérotez les questions traitées

Justifiez vos réponses (sauf indication contraire dans l’énoncé)

Laissez des traces de recherche et expliquez ce que vous faites, même si vous n’y arrivez pas

Pensez à utiliser des résultats des questions précédentes que vous n’avez pas su démonter.

 

Relecture et Vérification ~ 15 min

A la fin de l’épreuve, réservez du temps pour relire votre travail :

 Encadrez vos résultats, corrigez les fautes d’orthographe, 

Vérifiez que vous n’avez rien omis (des blancs non complétés, ….)

Numérotez vos copies

 

Exercice 1 (5 point) : Pensez-vous à l’environnement ? Triez-vous le papier ?

 

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. 

Dans le cadre d’une campagne de sensibilisation au tri des ordures ménagères, une enquête a été menée auprès de1500 habitants de ta ville, répartis de la manière suivante : 

Partie A

On interroge au hasard une personne parmi celles qui ont répondu à cette enquête. 

On considère les évènements suivants : 

• J : «la personne  interrogée a moins de 35 ans»; 

• M :«la personne  interrogée a un âge compris entre 35 et 50 ans»; 

• S :«la personne  interrogée a plus de50 ans»; 

• T :«la personne  interrogée trie le papier». 

 

1. D’après l’énoncé, sur les 1500 habitants interrogés :

25% ont moins de 35 ans donc P(J)=0,25  

P(M)=0,4  ( déjà inscrit sur l’abre) 

P(S)=0, 35  (35% ont plus de50 ans)

 

D’autre part :

80% des moins de 35 ans ont répondu «oui»  Pj(T)=0,8  

70% des personnes âgésde35 à50 ans ont répondu oui Pm(T)=0,7   

60% des personnes de plus de50 ans ont répondu «oui» Ps(T)=0,6  

 

On en déduit que 

 

exercice-bac-blanc-stmg-maths

 

a. S ∩T est l’évènement « la personne interrogée a plus de50 ans et trie le papier ». 

b. D’après la formule des probabilités conditionnelles :

P(S∩T)=P(S)×P_S (T)=0,35×0,6=0,21

 

3. Calculer la probabilité de l’évènement : «la personne interrogée a moins de 35 ans et trie le papier». 

P(J∩T)=P(J)×P_J (T)=0,25×0,8=0,2

 

probabilites-bac-blanc-maths-stmg

 

4. On note p la probabilité que la personne interrogée trie le papier. Montrons que p = 0,69. 

 p=P(J∩T)+P(M∩T)+P(S∩T)

     =0,2+P(M)×Pm (T)+0,21     ( d’après les questions 2.b et 3 )

     =0,2+0,4×0,7+0,21

     =0,2+0,28+0,21

 p=0,69

 

5. Calculons la probabilité, arrondie au centième, que la personne interrogée ait moins de 35 ans sachant qu’elle trie le papier.

 

exercice-stmg-maths-bac-blanc

Partie B 

 

1. Dans cette question, on choisit au hasard 3 personnes parmi les 1500 interrogées. 

On suppose que ce choix peut être assimilé à 3 tirages indépendants avec remise. On rappelle que la probabilité p qu’une personne interrogée trie le papier est égale à 0,69. 

On peut représenter la situation par l’arbre ci-contre (facultatif)

 

probabilites-exercice-stmg-maths-bac-blanc

 

On veut calculer la probabilité, arrondie au centième, de l’évènement E  « parmi les 3 personnes interrogées, une au moins trie le papier » 

L’évènement contraire de E est "E"  ̅ « aucune des 3 personnes interrogées ne trie le papier »

 

bac-blanc-maths-stmg

 

La probabilité que parmi les 3 personnes interrogées, une au moins trie le papier est 0,97

2. On considère que l’échantillon des 1500 personnes interrogées est représentatif du comportement face au tri des déchets des habitants la ville. 

Sachant que p = 0,69, estimons à l’aide d’un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, la proportion des habitants de cette ville qui trient le papier.

 

equations-maths-bac-blanc-stmg

 

Avec un niveau de confiance de 95%, la proportion d’habitants qui trient le papier est comprise en 66,6% et 71,6%.

 

EXERCICE 2(5 POINT)

Les deux parties sont indépendantes.

 

Partie A

La courbe C ci-dessous est la représentation d’une fonction f définie sur l’intervalle [0; 36].

 

courbes-maths-stmg-bac-blanc

 

A est le point de la courbe C d’abscisse 5, B celui d’abscisse 12 et D celui d’abscisse 33,5. T1 est la tangente à la courbe C au point A, T2 celle au point B et T3 celle au point D.

 

1. Réponse C : L’image de 12 par la fonction f est environ 1410 (voir graphique)

 

2. Réponse B : f '(5)  est environ égal à 125 (voir graphique)

 f '(5) est la pente de la tangente à la courbe au point A d’abscisse 5. Il s’agit du coefficient directeur de la droite (T1 )

Les points de coordonnées approximatives ( 5 ;1000) et (1 ;500) appartiennent à (T1 ), on en déduit le coefficient directeur : 

 

bac-blanc-stmg-exercice-maths

 

3. Réponse C 

La courbe de f est strictement croissante sur [0 ;12] puis décroissante sur [12 ;36] 

La fonction dérivée de f est donc positive sur [0 ;12] puis négative sur [12 ;36] 

La fonction dérivée est donc représentée par la courbe C.

 

 

bac-blanc-maths-stmg-courbes

 

Partie B 

Soit g la fonction définie sur[0; 36] par:

maths-bac-blanc-serie-stmg

 

1. Réponse B 

bac-blanc-maths-serie-stmg

 

2. Réponse B : Le maximum de g sur [0; 36] est 1677,6

Etudions le signe de la dérivée g’ et les variations de la fonction g

 

exercice-maths-bac-blanc-stmg

 

Tableau de variation de g sur [0; 36]

 

tableau-de-variations-stmg-bac-blanc

Le maximum est atteint au point d’abscisse 12. Et le maximum est :

 

equation-exercice-bac-blanc-maths

 

Exercice 3

Un employeur donne le choix à un salarié à temps partiel entre deux modes de rémunération : 

— proposition A: salaire mensuel brut de 1200€ au premier janvier 2015 puis, chaque année au premier janvier, augmentation de15€ du salaire mensuel brut; 

— proposition B : salaire mensuel brut de 1000€ au premier janvier 2015, puis, chaque année au premier janvier, augmentation de 4% du salaire mensuel brut. On se propose d’étudier quelle est la proposition la plus intéressante pour ce salarié. On note, pour tout  n∈N : 

— U_n le salaire mensuel brut au premier janvier de l’année (2015+n) pour la première proposition ; 

— V_n le salairemensuel brutaupremier janvier de l’année (2015+n)pour la deuxième proposition.

 

1. Calculons U_1, U_2, V_1 et V_2. 

 

exercice-3-bac-blanc-stmg

 

2. Nature et raison des suites (U_n)et (V_n). 

La suite (U_n) est arithmétique de raison 15 car chaque année on augmente le salaire du même montant constant 15€.

La suite (V_n) est géométrique de raison 1,04 car chaque année le salaire est multiplié par le coefficient (1+0,4)=1,04

 

3. La suite U_n est arithmétique de premier terme U_0=1200 et de raison r=15, son terme général est  donc : 

 

equation-1-bac-blanc-stmg

 

La suite V_n est arithmétique de premier terme V_0=1000 et de raison q=1,04, son terme général est  : 

 

equation-2-bac-blanc-stmg

 

4.salaire mensuel brut en 2023 pour chacune des deux propositions. Les résultats seront arrondis à l’euro. 

En 2023 , n=8

 U8=1200+15×8=1320

 V8=1200×1,04^8=1368,56905 ≈ 1369

 

5. Une feuille de calcul a été élaborée dans le but de calculer le salaire mensuel brut, au premier janvier de chaque année, pour chacune des deux propositions de rémunération.

 

feuille-de-calcul-maths-bac-blanc

 

a. Formule qui, entrée en cellule C2, permet, par recopie vers la droite, d’obtenir le contenu de la plage C2 : N2

« =B2+15 »  ou  « =B$2+15 »

 b. Formule qui, entrée en cellule C3, permet, par recopie vers la droite, d’obtenir le contenu de la plage C3 : N3.

« =B3*1,04 »  ou  « =B$3*1,04»

 

6. Le salaire mensuel brut obtenu avec la proposition B dépasse celui de la proposition A à partir de 2023

En calculant les valeurs de chaque suite , on obtient la tableau complet :

 

tableau-ce-calcul-2-bac-stmg

 

On remarque qu’en 2023 ( soit pout n=7)  V_7>U_7

 

EXERCICE 4 (4 POINT)

 

Le tableau ci-dessous donne la consommation de soins et de biens médicaux(CSBM) en France, en milliards d’euros :

 

tableau-bac-blanc-maths-stmg

 

1. L’augmentation entre 2005 et 2010 a été de 29,2%.

CSBM_2010=(1+29,2%)×CSBM_2005 

         =(1+0,292)×114,6=148,0632

 CSBM_2010≈148,1 milliards d’euros  (Arrondi au dixième) 

 

2. Soit T le taux d’évolution global de la CSBM en France entre 2005 et 2016. 

 

exercice-bac-blanc-stmg

 

3. Soit t le taux annuel moyen d’augmentation de la CSBM en France entre 2005 et 2016(soit sur 11ans)

 

bac-blanc-maths-stmg1

4. Dans cette question, on admet que le taux annuel d’augmentation de la CSBM en France entre 2005 et 2016 reste constamment égal à 4,2%. 

a. La CSBM en France en 2009( soit 4 années après 2005) est :

 

b. L’affirmation est vraie

 

exercice-mathematiques-bac-blanc-stmg

 

«si l’évolution se poursuit ainsi, la CSBM en France dépassera 200 milliards d’euros en 2020 »

 

5. Entre 2011 et 2016, une étude plus détaillée donne l’évolution de la CSBM en France.

 

bac-blanc-mathematiques-bac-stmg

 

a. À l’aide de la calculatrice, on obtient une équation de la droite D qui réalise un ajustement affine du nuage de points (x_i;y_i ) obtenu par la méthode des moindres carrés 

(D):y =5,19714x+149,526

En arrondissant les coefficients au centième : (D):y =5,20x+149,53

 

b. On admet que la droite d’équation y = 5,2x +149,5 réalise un bon ajustement du nuage de points (x_i;y_i ). 

D’après cet ajustement affine, en 2020 (année de rang 10) on peut s’attendre à :

 y = 5,2×10 +149,5=201,5 >200  

La CSBM en France, en 2020 dépassera donc 200 milliards d’euros

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